Догадка де Бройля

Лишь в 1923 году произошло событие, которому суждено было объяснить смысл правил квантования. Но сначала оно только обострило проблему волн-частиц. Французский физик Луи де Бройль предположил, что частицы обладают таким же дуализмом, как и свет; частицы должны описываться волновым процессом с длиной волны X, так связанной с количеством движения р, как и длина волны световых частиц - фотонов: \lambda = 2 \pi h/p.

Уже через четыре года это удивительное предсказание было подтверждено опытом. К. Дэвиссон, Л. Джермер и Дж. П. Томсон открыли дифракцию электронов на кристаллах. Электрон действительно ведет себя как волна!

Подтвердилась не только волновая природа электрона, но и в точности формула де Бройля для длины электронной волны. История повторилась в обратной последовательности: в случае света была сначала изучена волновая природа, а затем корпускулярная, а у электрона - наоборот.

Квантовая механика

Следующий шаг - важнейшее обобщение догадки де Бройля. В 1926 году Эрвин Шрёдингер получил свое знаменитое уравнение для волновой функции (\рsi-функ-

ции) частицы, движущейся во внешнем поле. В свободном пространстве - это уравнение для волн с постоянной длиной. Его решение и есть волна де Бройля. Но во внешнем поле, например, в кулоновском поле ядра, длина волны изменяется от точки к точке. Особенно просто найти это уравнение для медленно изменяющегося поля. Тогда и длина волны изменяется медленно, и в каждой точке она определяется формулой де Бройля, но с изменяющимся от точки к точке импульсом р (r). Его можно найти из выражения для энергии:

Первое слагаемое здесь - кинетическая энергия, второе слагаемое - потенциальная. Уравнение Шрёдингера легко получается из уравнения для волн де Бройля, в которое входит слагаемое р2\psi, - надо только заменить в нем импульс р на р (r). Наверное, подобные соображения и помогли Шрёдингеру найти это замечательное уравнение.

Оказалось, что решение уравнения Шрёдингера для атома водорода получается в согласии с правилами квантования Бора не для всех энергий, а только для дискретных значений, совпадающих с теми, которые следовали из боровских правил. Объяснились многие детали устройства атомов, которые не объяснялись постулатами Бора. Стал ясен и смысл правила квантования - оно означает, что в области движения электрона должно укладываться целое число волн де Бройля. Но об этом мы подробно поговорим еще в следующих разделах и даже найдем решения упрощенного уравнения Шрёдингера для разных случаев.

За несколько месяцев до Шрёдингера Вернер Гейзенберг предложил другой вариант квантовой теории. Он, исходя из принципа наблюдаемости, представил величины как совокупность всех возможных амплитуд перехода из одного состояния квантовой системы в другие. Сама вероятность перехода пропорциональна квадрату амплитуды, точнее, квадрату модуля амплитуды - это уточнение для тех, кто знаком с комплексными числами. Именно такие амплитуды перехода и наблюдаются на опыте. В таком представлении каждая величина имеет два значка, определяющих начальное и конечное состояния системы. Эти величины называются «матрицами». Так, координате q соответствует матрица - совокупность матричных элементов qmn , где m иn - два состояния системы. Гейзенберг получил замкнутые уравнения, из которых в принципе можно найти все наблюдаемые величины. Однако в своей первоначальной форме матричная механика Гейзенберга казалась неоправданно сложной по сравнению с волновой механикой Шрёдингера. Уже в 1926 году Шрёдингер показал полную эквивалентность обоих подходов. Матричная и волновая механики объединились в квантовую.

Сейчас физики запросто обращаются с матрицами, уравнения для матриц не кажутся сложными. Но для того, чтобы получить аналитические результаты, удобнее, как говорят, перейти в координатное представление и вместо уравнения для матриц решать уравнение Шрёдингера.

Даниил Данин в книге «Вероятностный мир» описывает во всех деталях и с удивительной поэтичностью всю драму зарождения квантовой механики. Там приводится поучительный рассказ: «Летом 25-го года, когда волновой механики еще не существовало, а матричная только-только появилась на свет, два геттингенских теоретика пошли на поклон к знаменитому Давиду Гильберту - признанному главе тамошних математиков. Бедствуя с матрицами, они захотели попросить помощи у мирового авторитета. Гильберт выслушал их и сказал в ответ нечто в высшей степени знаменательное: всякий раз, когда ему доводилось иметь дело с этими квадратными таблицами, они появлялись в расчетах «как своего рода побочный продукт» при решении волновых уравнений.

- Так что, если вы поищете волновое уравнение, которое приводит к таким матрицам, вам, вероятно, удастся легче справляться с ними.

По рассказу американца Эдварда Кондона, то были Макс Борн и Вернер Гейзенберг. А заканчивается этот рассказ так: «Оба теоретика решили, что услышали глупейший совет, ибо Гильберт просто не понял, о чем шла речь. Зато Гильберт потом с наслаждением смеялся, показывая им, что они могли бы открыть шрединге-ровскую волновую механику на шесть месяцев раньше ее автора, если бы повнимательней отнеслись к его, гильбертовым, словам».

На этом закончился первый этап развития квантовой механики. Несмотря на все успехи новой механики, оставался нерешенным главный вопрос: что же такое волновая функция, основной инструмент теории?